ВМ 2 семестр / Лекции / Лекция 12

z

L

M3

M 4

A3

A4

An

M1

A2

A1

M

2

2

точке: f M1 ,

f M 2 , …. ,

f M n . Пусть длины фрагментов (дуг) L1 , L2 ,

n

f M k lk .

(1)

k 1

Данная сумма называется интегральной суммой для функции

f f x, y, z по

кривой L .

n

f (x, y, z)dl lim f M k lk .

(2)

L

0 k 1

2. Свойства криволинейного интеграла по дифференциалу длины дуги

Свойства криволинейного интеграла сформулируем для двух функций

f1 f1 x, y, z

и

f2 f2 x, y, z ,

непрерывных в области ,

которой

принадлежит кривая L .

1.

dl lL ,

где lL - длина кривой L .

L

2.

fdl

fdl , так как lk 0 - длина дуги.

L:A0 An

L:An A0

3.

с1 f1 с2

f2 dl c1 f1dl c2 f2dl , где c1,c2 const .

L

L

L

4.

fdl

fdl fdl , где L1 , L2

- два непересекающихся фрагмента

L

L1

L2

кривой L , формирующие всю кривую L .

5.

f1dl f2dl , если M f1

f2 .

L

L

6.

fdl 0 , если M f 0 .

L

7.

fdl 0 , если M f 0 .

L

8.

fdl

f

dl .

L

L

9.

lL w fdl lLW , если M w f W .

L

10. L :

fdl f lL .

L

L : x x(t); y y(t); z z(t),

t t0 ,t1 .

Тогда,

если

функция f (x, y, z) непрерывна

в области ,

а

функции

x x(t); y

y(t); z z(t)

имеют

непрерывные

производные

отрезке

t t0 ,t1

,

интеграл

f (x, y, z)dl

можно

x (t); y (t); z (t) на

L

вычислить по формуле

t

f (x, y, z)dl 1

f x t , y t , z t

x t 2 y (t) 2

z t 2 dt . (3)

L

t0

dl

x t 2

y (t) 2 z t 2 dt .

(4)

Рассмотрим гладкую

кривую

L , состоящую из n

фрагментов Lk

(на рис. 2 выделенный фрагмент - L2 ). Из рис. 2 видно,

что длина хорды lk ,

спрямляющей k ый фрагмент кривой может быть найдена по формуле

lk

xk 2 yk 2 zk 2 .

(5)

Разделим формулу (5) слева и справа на величину tk tk

tk 1 , k 1, 2,3,..., n

где

A x(tk ); y(tk ); z(tk ) Ak ;

A x(tk 1 ); y(tk 1 ); z(tk 1 ) Ak 1 .

отрезке tk 1,tk и существуют

производные

на интервале

x (t); y (t); z (t)

tk 1,tk , то внутри данного интервала существует точка k , такая, что

xk x k .

(7)

tk

Тогда, используя непрерывность производных

x (t);

y (t); z (t) , получим

lk

x k 2

y k 2 z k 2 tk .

(8)

Далее перейдем к пределу при tk 0 , тогда,

tk

dt и

k tk 1 .

В результате получим

lim lk dl

x tk 1 2 y tk 1 2 z tk 1 2 dt .

(9)

tk 0

t tk 1

Тогда в произвольной точке t t0 ,t1 получим

dl

x t 2

y t 2 z t 2 dt .

(10)

Замечание 1. Если кривая L полностью находится в плоскости Oxy и в

точках

данной кривой задана непрерывная функция

f f (x, y) интеграл по

дифференциалу длины дуги задается следующим образом

n

f (x, y)dl lim f M k lk , Mk

L,

Mk Mk xk , yk .

(11)

L

0 k 1

Пример 1. Дано: уравнение винтовой линии

L : x sin(t), y cos(t),

z t;

t 0, 2 .

Найти длину данной линии.

Пример 2. Дано: уравнение винтовой линии

L : x sin(t), y cos(t),

z t;

t 0, 2 .

Найти интеграл x2

y2

z2 dl .

L

Решение:

2

x2

y2 z2 dl sin2

t cos2 t t2 cos2 t sin2 t 1dt

L

0

3

2

2 2

2

1 t2

dt

2

.

3

0

пространства трех переменных Oxyz :

L : x x(t);

y y(t); z z(t),

t t0 ,T ,

(12)

где функции x(t), y(t), z(t) непрерывны в области .

Пусть в каждой точке

M M x, y, z

области задано векторное

поле в виде:

a M P(x, y, z)

i

Q(x, y, z)

j

R(x, y, z)k .

(13)

Разобьем отрезок t t0 ,T на n частей точками:

t0 t1 t2 t3 ... tn 1 tn

T .

(14)

В соответствии с (12) и (14) на n частей разобьются отрезки определения

кривой L по осям Ox , Oy , Oz точками:

x t0 x t1 x t2 x t3 ... x tn 1 x tn x T .

(15)

Стаценко И.В. Лекция 12. Криволинейные интегралы

8

y t0 y t1 y t2 y t3 ... y tn 1 y tn y T .

(16)

z t0 z t1 z t2 z t3 ... z tn 1 z tn z T .

(17)

Пусть

xk

xk xk 1

,

k 1, 2,3,..., n.

(18)

yk

yk yk 1

,

k 1,2,3,..., n.

(19)

zk

zk zk 1 ,

k 1, 2,3,..., n.

(20)

lk -длина k ой дуги кривой

L ,

k 1, 2,3,..., n.

(20)

См. рис.2.

Внутри

каждой

дуги

Lk выберем

произвольным

образом

точку

Mk k , k , k .

Пусть max lk

- максимальный диаметр разбиения кривой L .

k

Рассмотрим интегральные суммы

n

n

n

P k , k , k xk ,

Q k , k , k yk ,

R k , k , k

zk .

(21)

k 1

k 1

k 1

Определение

2.

Если

существуют

конечные

пределы

n

n

n

lim P k , k , k xk ,

lim

Q k , k , k yk

,

lim

R k , k , k zk

0

k 1

0

k 1

0

k 1

интегральных сумм (21) при 0, получаемые независимо от выбора точек

Mk

k , k , k

внутри

каждой частичной дуги, то каждый предел по

отдельности

называется

криволинейным интегралом по

дифференциалам

n

P(x, y, z)dx lim P M k xk ;

(22)

L

0

k 1

n

Q(x, y, z)dy lim

Q M k yk ;

(23)

L

0

k 1

n

R(x, y, z)dz lim R M k zk ;

(24)

L

0

k 1

или в виде одного интеграла

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

(25)

L

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz.

L

L

L

1

1

1

1

a

M

P (x, y, z)i

Q (x, y, z) j

R (x, y, z)k ,

a2 M P2 (x, y, z)

i

Q2 (x, y, z)

j

R2 (x, y, z)k ,

координаты которых непрерывны в области , которой принадлежит кривая L .

1.

Pdx Qdy Rdz

Pdx Qdy Rdz .

L:A0 An

L:An A1

1

2

1

2

1

2

2.

P P

dx

Q

Q dy

R

R

dz

L

Pdx Q dy R dz

P dx Q dy R dz .

1

1

1

2

2

2

L

L

3.

Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz , где

L

L1

L2

L : x x(t); y y(t); z z(t),

t t0 ,T .

Пусть также в каждой точке M M x, y, z

области задано векторное

производные

x (t); y (t); z (t) на отрезке t t0 ,T , интеграл

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

L

можно вычислить по формуле

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

(26)

L

T

P

x

t

, y

t

, z

t

x

t

Q

x

t

, y

t

, z

t

y

t

R

x

t

, y

t

, z

t

z

t

dt.

t0

Пример 1. Дано: уравнение винтовой линии

L : x sin(t),

y cos(t),

z t;

t 0,

2

и векторное поле a x2

y2

i

j

z2k

.

Найти

интеграл

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz ,

полагая

L

положительным

направление

обхода

кривой

L

в

направлении

увеличения

параметра t .

Решение:

2

sin2

t sin (t) cos2 t cos (t) t 2t dt

x2dx y2dy z2dz

L

0

2

sin2 t cos t cos2 t sin t t2 dt

0

sin2 t d sin t

cos2 t d cos t 2

3

2

2

0

0

3

sin3

x

cos3

x

2

2

3

2

3

.

3

3

3

0